Дмитрий Валерьевич Стоцкий родился 1 декабря 1989 года в Калининграде. В родном городе в 7-летнем возрасте начал заниматься футболом в местной СДЮШОР № 5. В юности с успехом играл в футзал за команды из Калининграда и даже получил приглашение в мини-футбольный клуб ЦСКА. Но к тому времени Дмитрий уже тренировался в составе молодежной «Балтики», и калининградский клуб, узнав об интересе со стороны армейцев, также предложил ему профессиональный контракт. Поразмыслив, Стоцкий сделал выбор в пользу «большого» футбола и 1 ноября 2009 года дебютировал в составе основной команды, выйдя на замену на 81-й минуте матча Первого дивизиона против новотроицкой «Носты». 

В 2010 году молодой футболист набирался игровой практики в клубе «Клайпеда» из сильнейшего дивизиона Литвы, куда был отдан в аренду, а в 2011-м, когда «Балтику» в качестве главного тренера возглавил Евгений Перевертайло, Дмитрий стал твердым игроком основного состава коллектива из Калининграда. В рядах самой западной команды России Стоцкий суммарно провел 127 официальных матчей и в первой половине сезона 2014/2015 даже являлся ее капитаном.

Зимой 2015 года Стоцким заинтересовалась дебютировавшая в Премьер-Лиге «Уфа» и в феврале выкупила его у калининградцев. Портал Transfernarkt оценивает эту сделку в 400 тысяч евро. Первый свой матч в Премьер-Лиге полузащитник, способный сыграть как на любом из флангов, так и в центре, но все же больше тяготеющий к правому краю, провел 8 марта того же года на выезде против московского «Динамо». А в мае Дмитрий отметился первой результативной передачей и первым голом, причем огорчил метким ударом московский «Спартак».

В «Уфе» Стоцкий быстро вышел на первые роли и в обоих сезонах, проведенных в клубе из столицы Башкирии, являлся одним из лидеров команды, ее ключевым креативным звеном. В чемпионате России-2017/2018 он принял участие в 28 играх из 30-ти, 27 раз выходил в стартовом составе, забил 3 мяча и сделал 6 результативных передач. В августе 2017 года Стоцкий был вызван Станиславом Черчесовым на сбор национальной команды России, правда на поле в товарищеском матче с московским «Динамо» он так и не появился.

В мае 2018 года были согласованы все детали перехода Дмитрия Стоцкого из «Уфы» в «Краснодар», футболист прошел медицинское обследование и подписал с черно-зеленым клубом личный контракт, срок которого истекает в июне 2022 года.

Будучи игроком «Краснодара», Дмитрий Стоцкий в сентябре 2018 года лебютировал в составе сборной России в товарищеском матче против Чехии.